ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110257
Тема:    [ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A , B , C и D – четыре точки в пространстве. Докажите, что если AB = BC и CD = DA , то прямые AC и BD перпендикулярны.

Решение

Если точки A , B , C и D лежат в одной плоскости, утверждение очевидно. Пусть точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Соединим точки B и D с серединой M отрезка AC . Тогда BM и DM – медианы, а значит, и высоты равнобедренных треугольников ABC и ADC . Поэтому прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BM и DM плоскости BMD . Следовательно, прямая AC перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой BD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8163

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .