Условие
Пусть
A ,
B ,
C и
D – четыре точки в пространстве. Докажите, что
если
AB = BC и
CD = DA , то прямые
AC и
BD перпендикулярны.
Решение
Если точки
A ,
B ,
C и
D лежат в одной плоскости, утверждение
очевидно. Пусть точки
A ,
B ,
C и
D не лежат в одной плоскости.
Соединим точки
B и
D с серединой
M отрезка
AC . Тогда
BM и
DM –
медианы, а значит, и высоты равнобедренных треугольников
ABC и
ADC .
Поэтому прямая
AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым
BM и
DM плоскости
BMD . Следовательно, прямая
AC перпендикулярна каждой
прямой этой плоскости, в частности, прямой
BD .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8163 |
