Задача 110259

Тема:    [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD даны рёбра: AB = 7 , BC = 8 , CD = 4 . Найдите ребро DA , если известно, что прямые AC и BD перпендикулярны.

Решение

Проведём высоту BK треугольника ABC . Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BK и BD плоскости BDK . Значит, прямая AC перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой DK . Поэтому DK — высота треугольника ADC . Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABK , CBK , ADK и CDK :

AB2 - AK2 = BC2 - CK2, AD2 - AK2 = DC2 - CK2.
Вычитая почленно эти равенства, получим уравнение
AB2 - AD2 = BC2 - DC2, или49 - AD2 = 64 - 16,
откуда находим, что AD2 = 1 . Следовательно, AD = 1 .

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8165