Задача 110260

Тема:    [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Пусть A , B , C и D – четыре точки в пространстве, для которых AB2 + CD2 = BC2 + AD2 . Докажите, что прямые AC и BD перпендикулярны.

Решение

Проведём высоту BK треугольника ABC . Докажем, что DK – высота треугольника ACD . Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABK и CBK получим, что

AB2 - AK2 = BC2 - CK2, или AB2 - BC2 = AK2 - CK2.
Поэтому
AD2 - CD2 = AB2 - BC2 = AK2 - CK2.
Известно, что геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках. Значит, DK – высота треугольника ADC . Если точки A , B , C и D лежат в одной плоскости, то утверждение задачи теперь очевидно. Если точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости, то прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BK и DK плоскости BKD . Значит, прямая AC перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой BD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8166