Задача 110273

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В пирамиде ABCD площадь грани ABC в четыре раза больше площади грани ABD . На ребре CD взята точка M , причём CM:MD = 2 . Через точку M проведены плоскости, параллельные граням ABC и ABD . Найдите отношение площадей получившихся сечений.

Решение

Обозначим S_{Δ ABD} = S . Тогда S_{Δ ABC} = 4S . Пусть плоскость, проходящая через точку M параллельно плоскости ABC , пересекает рёбра AD и BD соответственно в точках L и K , а плоскость, проходящая через точку M параллельно плоскости ABD , пересекает рёбра BC и AC соответственно в точках P и Q . Тогда треугольник LKM подобен треугольнику ABC с коэффициентом = , а треугольник QPM подобен треугольнику ABD с коэффициентом = . Поэтому

S_{Δ LKM} = ()2S_{Δ ABC} = · 4S = S, S_{Δ QPM} = ()2· S_{Δ ABD} = S.
Следовательно,
= =1.

Ответ

1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8269