Условие
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a ,
боковое ребро равно
b . Найдите высоту пирамиды и двугранный угол
между боковыми гранями.
Решение
Пусть
O – центр основания
ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD ,
M – середина
BC ,
F – основание перпендикуляра, опущенного
из точки
M на боковое ребро
AD ,
AB = BC = AC = a ,
AD = BD = CD = b .
Из прямоугольного треугольника
DAO находим, что
DO = 
= 
=
,
sin 
DAO = 
= 
.
Прямая
AM – ортогональная проекция наклонной
AD на плоскость
ABC . Так как
AM 
BC , то по теореме о трёх перпендикулярах
AD BC .
Значит, прямая
AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым
MF (по
построению) и
BC . Следовательно,
BFC – линейный угол двугранного
угла между плоскостями боковых граней
ADB и
ADC .
Из прямоугольных треугольников
AFM и
BMF находим, что
MF = AM sin DAO = 
· =
,
tg 
BFC = 
=
=
.
Ответ
,
2
arctg .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8275 |
