Задача 110283

Темы:    [ Шар и его части ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Плоскость проходит на расстоянии a от центра единичной сферы. Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в этой плоскости, а вершины противоположной грани находятся на сфере.

Решение

Рис. 1	Рис. 5
Рис. 2	Рис. 6
Рис. 3	Рис. 7
Рис. 4	Рис. 8

Пусть вершины A, B, C и D куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром x лежат в данной плоскости, а вершины A₁, B₁, C₁ и D₁ на данной сфере с центром O (рис. 1─4). Через точку O проведём прямую, перпендикулярную данной плоскости. Пусть эта прямая пересекает плоскости граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ в точках P и P₁ соответственно. Поскольку точки A₁, B₁, C₁ и D₁ равноудалены от точки O, точка P₁ ─ центр квадрата A₁B₁C₁D₁. Тогда P ─ центр квадрата ABCD.

Рассмотрим сечение сферы и куба плоскостью, проходящей через прямую OP и вершину A₁. Получим окружность единичного радиуса с центром в точке O и прямоугольник AA₁C₁C, сторона AC которого лежит на хорде окружности, удалённой на расстояние a от центра окружности, а вершины A₁ и C₁ ─ на окружности, причём AA₁ = x,

а A₁C₁ = x

√ 2

.

Пусть точки O и P₁ лежат по разные стороны от прямой AC (рис. 5). Тогда в прямоугольном треугольнике OP₁A₁ известно, что

OA₁ = 1,   A₁P₁ =

1 2

A₁C₁ =

x√ 2 2

,

OP₁ = OP + PP₁ = a + x.

По теореме Пифагора OA₁² =
= A₁P₁² + OP₁², или

1 =

x² 2

+ (a + x)².

Из этого уравнения находим, что

x =	√ 6 − 2a²  − 2a 3

(второй корень заведомо отрицательный).

Пусть точки O и P₁ лежат по одну сторону от прямой AC (рис. 6─8). Тогда в прямоугольном треугольнике OP₁A₁ известно, что

OA₁ = 1,   A₁P₁ =

1 2

A₁C₁ =

x√ 2 2

,

OP₁ = |PP₁ − OP| = |x − a|.

По теореме Пифагора OA₁² =
= A₁P₁² + OP₁², или

1 =

x² 2

+ (x − a)².

Из этого уравнения находим, что

x =

±√ 6 − 2a²  + 2a 3

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8381