Задача 110284

Тема:    [ Сфера, описанная около призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Известно, что около некоторой призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы ─ многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус окружности, если высота призмы равна h, а радиус описанной около призмы сферы равен R.

Решение

Рассмотрим сечение данных сферы и призмы плоскостью основания призмы. Получим многоугольник основания, вписанный в некоторую окружность.

Рассмотрим сечение сферы и призмы плоскостью боковой грани призмы. Получим параллелограмм, вписанный в окружность, т. е. прямоугольник. Значит, боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, данная призма ─ прямая.

Пусть O ─ центр сферы, M ─ центр окружности, описанной около одного из оснований, r ─ её радиус, A ─ вершина этого основания. Тогда

OM =

h 2

,    MA = r,    OA = R.

Из прямоугольного треугольника AOM находим, что

r = MA =

√ OA² − OM²

=

√ R² −  h² 4

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8382