ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110285
Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

Решение

Пусть Q ─ центр окружности, описанной около основания AA₂…An пирамиды PAA₂…An с вершиной P. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин основания пирамиды, есть перпендикуляр к плоскости основания, проведённый через точку Q.

Геометрическое место точек, равноудалённых от A₁ и P, есть плоскость α, проходящая через середину M отрезка AP перпендикулярно AP. Прямая и плоскость α пересекаются, так как в противном случае точка P лежала бы в плоскости основания пирамиды, что невозможно. Точка O пересечения прямой и плоскости α равноудалена от всех вершин пирамиды PAA₂…An. Следовательно, O ─ центр сферы, описанной около пирамиды.

Пусть R ─ радиус этой сферы, PA₁ = h ─ высота пирамиды. Поскольку прямые и PA₁ перпендикулярны к плоскости основания, то  ∥ PA₁. Проведём плоскость через параллельные прямые и PA₁. Рассмотрим равнобедренный треугольник AOP₁, в котором OP = OA₁ = R, а высота OM равна r (OQAP ─ прямоугольник). Поскольку M ─ середина AP, то PM = ½h. Из прямоугольного треугольника OPM находим, что

R = OP = 
OM² + PM²
 = 
r² + 
h²
4
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8383

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .