Задача 110285

Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ ГМТ в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

Решение

Пусть Q ─ центр окружности, описанной около основания A₁A₂…A_n пирамиды PA₁A₂…A_n с вершиной P. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин основания пирамиды, есть перпендикуляр ℓ к плоскости основания, проведённый через точку Q.

Геометрическое место точек, равноудалённых от A₁ и P, есть плоскость α, проходящая через середину M отрезка A₁P перпендикулярно A₁P. Прямая ℓ и плоскость α пересекаются, так как в противном случае точка P лежала бы в плоскости основания пирамиды, что невозможно. Точка O пересечения прямой ℓ и плоскости α равноудалена от всех вершин пирамиды PA₁A₂…A_n. Следовательно, O ─ центр сферы, описанной около пирамиды.

Пусть R ─ радиус этой сферы, PA₁ = h ─ высота пирамиды. Поскольку прямые ℓ и PA₁ перпендикулярны к плоскости основания, то ℓ ∥ PA₁. Проведём плоскость через параллельные прямые ℓ и PA₁. Рассмотрим равнобедренный треугольник A₁OP₁, в котором OP = OA₁ = R, а высота OM равна r (OQA₁P ─ прямоугольник). Поскольку M ─ середина A₁P, то PM = ½h. Из прямоугольного треугольника OPM находим, что

R = OP =

√ OM² + PM²

=

√ r² +  h² 4

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8383