Задача 110294

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Надите радиус сферы описанной около пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , M – центр основания ABCD , K – середина ребра AB . Обозначим AB = a , MAP = ϕ . Так как PK – высота равнобедренного треугольника APB , то

a = AB = 2AK = 2AP sin APK = 2b sin .
Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
cos ϕ = cos MAP = = = sin .
Тогда
sin ϕ = = =
(угол MAP – острый). Пусть R – искомый радиус. Рассмотрим сечение пирамиды и описанной около неё сферы плоскостью, проходящей через точки A , P и C . Получим равнобедренный треугольник APC , вписанный в окружность радиуса R . По теореме синусов
R = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8396