Задача 110296

Темы:    [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Куб ] [ Цилиндр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два противоположных ребра единичного куба лежат на основаниях цилиндра, а остальные вершины - на боковой поверхности цилиндра. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол α ( α < 90^o) . Найдите высоту цилиндра.

Решение

Пусть вершины A1 и B1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 лежат в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины D и C – в плоскости нижнего основания, а грань ABCD образует угол α с плоскостями оснований цилиндра (рис.1). Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью грани BB1C1C (рис.2). Если B' и B1' – ортогональные проекции вершины B на плоскости оснований цилиндра, то высота цилиндра равна B'B1' . Из прямоугольных треугольников BB'C и B1B1'B находим, что

BB'=BC sin α = sin α, BB1'= BB1 cos α = cos α.
Следовательно,
BB1'= BB'+ BB1' = sin α + cos α.

Ответ

sin α + cos α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8398