ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110309
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиусы описанной и вписанной сфер. Докажите, что их центры совпадают.

Решение

Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Так как противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то диагонали каждой грани полученного параллелепипеда также равны. Поэтому все грани параллелепипеда – прямоугольники. Значит, параллелепипед – прямоугольный. Около него можно описать сферу. Эта сфера проходит через все вершины тетраэдра. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда. Пусть ABCDA1B1C1D1 – полученный прямоугольный параллелепипед (рис.1), а ACB1D1 – исходный тетраэдр, в котором

AC = B1D1 = a, AD1 = B1C = b, AB1 = D1C = c.

Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда

откуда находим, что
x2 + y2 + z2 = (a2 + b2 + c2).

Пусть O – центр описанной сферы, R – её радиус. Тогда
R = OA = AC1 = = =


= = .

Пусть OO1 – перпендикуляр, опущенный из центра описанной сферы на плоскость грани ACB1 исходного тетраэдра ACB1D1 (рис.2). Так как OA = OC = OB1 , то O1 – центр окружности, описанной около треугольника ACB1 со сторонами, равными a , b и c , а т.к. грани этого тетраэдра – остроугольные треугольники (свойство равногранного тетраэдра), то точка O1 лежит внутри треугольника CB1 . Если R1 – радиус этой окружности, то
R1 = = ,

где p – полупериметр треугольника ACB1 . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OAO1 находим, что
OO1 = = =


= .

Аналогично находим, что расстояния от точки O до плоскостей остальных граней исходного тетраэдра также равны OO1 (все грани тетраэдра – треугольники со сторонами a , b и c ). Значит, O – центр сферы, вписанной в тетраэдр. Если r – радиус этой сферы, то
r = OO1 = .


Ответ

R = ; r = , сСт p = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8431

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .