Задача 110314

Темы:    [ Куб ] [ Цилиндр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в единичный куб так, что ось цилиндра лежит на диагонали куба, а каждое основание касается трёх граней куба в их центрах.

Решение

Пусть окружность радиуса r одного из оснований цилиндра с высотой h касается граней ABCD , CC1D1D и AA1D1D единичного куба ABCDA1B1C1D1 в точках K , L и M соответственно. Так как K , L и M – середины диагоналей AC , CD1 и AD1 соответствующих граней куба, то эта окружность вписана в равносторонний треугольник ACD1 со стороной . Тогда

r = · = .
Окружность второго основания цилиндра вписана в равносторонний треугольник BA1C1 . Ось конуса проходит через центры этих окружностей перпендикулярно плоскостям ACD1 и BA1C1 . Известно, что эти плоскости делят диагональ куба на три равные части. Поэтому
h = CB1 = .
Следовательно, площадь осевого сечения цилиндра равна
2rh = 2· · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8436