Задача 110319

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, площади диагональных сечений которого равны , 2 и 3 .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, причём

S_BB1D1D = , S_CDA1B1 = 2, S_ADC1B1 = 3.
Обозначим AB = x , BC = y , AA1 = z . Тогда
BD2 = x2 + y2, A1D2 = y2 + z2, AB1 = x2 + z2.
Так как BB1D1D , CDA1B1 и ADC1B1 – прямоугольники с площадями , 2 и 3 , то
= S(BB1D1D) = BD· BB1 = · z,

2 = S(CDA1B1) = CD· A1D = · x,

3 = S(ADC1B1) = AB1· AD = · y.
Отсюда получим систему уравнений

или

Складывая почленно первое и второе уравнение и вычетая из результата третье, получим
2x2z2 = 8, x2z2 = 4, xz = 2.
Аналогично, xy = 6 и yz = 3 . Следовательно,
V2_ABCDA1B1C1D1 = x2y2z2 = xy· yz· xz = 6· 3· 2 = 36,

V_ABCDA1B1C1D1 = 6.

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8452