Задача 110328

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом R описанной сферы и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса R , описанной около правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D (рис.1). Точка O лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . По условию задачи OA = R , DAM = α . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда AM = . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки A , D и M (рис.2). Получим окружность радиуса R с центром O на прямой MD . Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P . Из прямоугольных треугольников AMD и APD находим, что

DM = AM tg DAM = ,

AM2 = DM· MP, или a2 = (2R - ),
откуда
a = = 2R tg α cos2α = 2R sin α cos α = R sin 2α.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · =

= a3 tg α = (R sin 2α)3 tg α = R3 sin3 2α tg α.

Ответ

R3 sin3 2α tg α= R3 sin2 2α sin2 α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8511