Задача 110334

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом вписанной r сферы и углом γ между боковыми гранями.

Решение

Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD на боковое ребро AD , M – центр основания ABC , K – середина стороны BC основания (рис.1). Так как прямая AK – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость основания и AK BC , то по теореме о трёх перпендикулярах AD BC . Значит, прямая AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BF плоскости BFC . Поэтому AD – перпендикуляр к плоскости BFC , а BFC – линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ABD и ACD . По условию задачи BFC = γ . Пусть Q – центр сферы радиуса r , вписанной в данную пирамиду. Точка Q лежит на прямой DM . Обозначим DAM = α , DKM = β , AB = BC = AC = a . Тогда

AK = , AM = , KM = .
Из прямоугольных треугольников AMD , KMD , BFK и AFK находим, что
tg β = = = 2· =2 tg α,

FK = BK· ctg BFK = = .

sin α = sin DAM = = = .
Поэтому
cos α = = = ,

tg α = = = == =

= =, tg β = 2 tg α = .
Обозначим tg =t . Поскольку tg β = , имеем уравнение
= ,
или
t2 cos + t - cos = 0,
из которого находим, что
tg = t = = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки D , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром Q на прямой PM , касающуюся стороны KM угла DKM в точке M . Так как KQ – биссектриса угла DKM , то MKQ = . Из прямоугольного треугольника KMQ находим, что
= KM = = ,
откуда
a = = = ,
а т.к.
DM = KM tg β = · = ,
то
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · = a3· =

= ()3· = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8517