Задача 110393

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны 1, 2, 3 и 6?

Решение

Докажем, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней. В самом деле, ортогональные проекции на плоскость грани тетраэдра трёх остальных его граней полностью покрывают эту грань, а площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, ему не параллельную, равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между этой плоскостью и плоскостью проектируемого треугольника. Следовательно, площадь грани тетраэдра меньше суммы площадей остальных трёх его граней. Предположим теперь, что существует тетраэдр, с высотами

h1 = 1, h2 = 2, h3 = 3, h4 = 6.
Пусть S1 , S2 , S3 и S4 соответственно – площади граней тетрадра, на которые опущены эти высоты, V – объём тетраэдра. Тогда
V = S1· h1 = S1, V = S2· h2 = S2,

V = S3· h3 = S3, V = S4· h4 = 2S4.
Из этих равенств находим, что
S1 = 6S4, S2 = 3S4, S3 = 2S4.
Поэтому
S1 = 6S4 = S4 + 2S4 + 3S4 = S4 + S3 + S2,
что невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8577