Задача 110395

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Объём треугольной пирамиды 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан данной пирамиды.

Решение

Пусть A1 , B1 , C1 и D1 – точки пересечения медиан граней соответственно BCD , ACD , ABD и ABC треугольной пирамиды ABCD . Тогда отрезки AA1 , BB1 , CC1 и DD1 (медианы тетраэдра) пересекаются в одной точке (обозначим её буквой M ) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин пирамиды. Поэтому при гомотетии относительно точки M с коэффициентом - точка A переходит в точку A1 , точка B – в точку B1 , C – в C1 , D – в D1 . Значит, тетраэдр A1B1C1D1 подобен тетраэдру ABCD с коэффициентом . Следовательно,

V_A1B1C1D1 = ()3· V_ABCD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8581