Задача 110396

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Ребро CD пирамиды ABCD равно 1 и перпендикулярно плоскости ABC . Известно также, что AB = 2 , BC = 3 и ABC = 90^o . Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD .

Решение

Так как CB – ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC и CB AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DB AB . Значит, треугольник ABD – прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что

BD = = = ,

AC = = = .
Пусть S – площадь полной поверхности пирамиды ABCD . Тогда
S = S_{Δ ABC} + S_{Δ BCD} + S_{Δ ABD} + S_{Δ ACD} =

= AB· BC + BC· CD + AB· BD + AC· CD=

= · 2· 3 + · 3· 1 + · 2· + · · 1 =

= (9 + 2 + ).
Пусть V – объём пирамиды ABCD , r – искомый радиус вписанного в пирамиду шара. Так как DC – высота пирамиды, то
V = S_{Δ ABC}· DC = · 3· 1 = 1.
С другой стороны, V = S· r . Следовательно,
r = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8582