ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110396
Темы:    [ Объем помогает решить задачу ]
[ Сфера, вписанная в пирамиду ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ребро CD пирамиды ABCD равно 1 и перпендикулярно плоскости ABC . Известно также, что AB = 2 , BC = 3 и ABC = 90o . Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD .

Решение

Так как CB – ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC и CB AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DB AB . Значит, треугольник ABD – прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что

BD = = = ,


AC = = = .

Пусть S – площадь полной поверхности пирамиды ABCD . Тогда
S = SΔ ABC + SΔ BCD + SΔ ABD + SΔ ACD =


= AB· BC + BC· CD + AB· BD + AC· CD=


= · 2· 3 + · 3· 1 + · 2· + · · 1 =


= (9 + 2 + ).

Пусть V – объём пирамиды ABCD , r – искомый радиус вписанного в пирамиду шара. Так как DC – высота пирамиды, то
V = SΔ ABC· DC = · 3· 1 = 1.

С другой стороны, V = S· r . Следовательно,
r = = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8582

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .