Задача 110408

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Биссекторная плоскость и ГМТ ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Площади граней ABC и ADC тетраэдра ABCD равны P и Q . Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC делит ребро BD в отношении P:Q .

Решение

Пусть биссекторная плоскость двугранного угла с ребром AC пересекает ребро BD в точке M , а MG и MH – перпендикуляры, опущенные из точки M на плоскости граней ABC и ADC соответственно. Биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудалённых от его граней. Поэтому MG=MH . Значит,

= = .
Пусть BK и DL – перпендикуляры, опущенные из точек B и D на плоскость треугольника AMC . Тогда = . Значит,
= = = .
Следовательно,
= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8594