Задача 110409

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Площади граней ABC и ADC тетраэдра ABCD равны P и Q , двугранный угол между ними равен α . Найдите площадь треугольника, по которому биссекторная плоскость указанного угла пересекает тетраэдр.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух граней, a – длина их общего ребра, ϕ – величина двугранного угла между ними, то V = · . Пусть ребро AB тетраэдра ABCD равно a (рис.1), угол между гранями ABC и ABD равен ϕ , S_{Δ ABC} = S1 , S_{Δ ABD} = S2 . Если DH – высота тетраэдра, опущенная на основание ABC , а HK – перпендикуляр, опущенный из точки H на AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DK AB , значит, DKH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB . Поэтому DKH = ϕ . Тогда

V=V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = S1· DK sin ϕ = S1· · sin ϕ= · .
Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Пусть M – точка пересечения укзанной биссекторной плоскости с ребром BD , S – площадь треугольника AMC . Применяя доказанную формулу к тетраэдрам ABCD , MABC и MACD , получим, что
V_ABCD = · , V_MABC = · , V_MACD = · ,
а т.к. V_ABCD = V_MABC +V_MACD , то
· = · + · .
Из этого уравнения находим, что
S= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8595