Задача 110411

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды ABCD лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC , DC – высота пирамиды, AB=1 , BC=2 , CD=3 . Найдите двугранный угол между плоскостями ADB и ADC .

Решение

По теореме о трёх перпендикулярах AB BD . Из прямоугольных треугольников ABC , ADC и ABD находим, что

AC= = = ,

AD= = = ,

BD= = = .
Тогда
S_{Δ ACD} = AC· CD = · · 3=,

S_{Δ ADB} = AB· BD = · 1 · =,

S_{Δ ABC} = AB· BC = · 1 · 2=1.
Вычислим объём пирамиды двумя способами. С одной стороны,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· CD = · 1· 3 = 1.
С другой стороны, если α – искомый угол между плоскостями ADB и ADC , то
V_ABCD =· = · = .
Из уравнения
=1
находим, что sin α = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8597