Задача 110414

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD , в котором AB=a , AD=b ; SC – высота пирамиды, CS=h . Найдите двугранный угол между плоскостями ABS и ADS .

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух граней, l – длина их общего ребра, ϕ – величина двугранного угла между ними, то V = · . Пусть ребро MN тетраэдра KLMN равно l , угол между гранями MNL и MNK равен ϕ , S_{Δ MNK} = S1 , S_{Δ MNL} = S2 (рис.1). Если LH – высота тетраэдра, опущенная на основание MNK , а HP – перпендикуляр, опущенный из точки H на MN , то по теореме о трёх перпендикулярах LP MN , значит, LPH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре MN . Поэтому LPH = ϕ . Тогда

V=V_KLMN = S_{Δ MNK}· LH = S1· LP sin ϕ = S1· · sin ϕ= · .
Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Из прямоугольных треугольников SCD , SCB и SCA находим, что
SD = = , SB = = ,

AS = = .
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AB BS и AD DS . Тогда
S_{Δ ABS} = AB· BS = a, S_{Δ ADS} = AD· DS = b.
Обозначим через ϕ искомый угол и применим доказанное ранее утверждение к тетраэдру SABD . Получим равенство
V_SABD = · ,
или
· ab· h = · .
Отсюда находим, что
sin ϕ = .
Заметим, что проекция точки B на плоскость ADS лежит вне треугольника ADS , поэтому ϕ > 90^o . Значит, острый угол между плоскостями ABS и ADS равен 180^o- arcsin .

Ответ

180^o- arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8600