Задача 110419

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Правильная пирамида ] [ Четырехугольная пирамида ] [ Построения на проекционном чертеже ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна . Через основание высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная медианам SM и BN граней SAB и SBC соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если расстояние от вершины пирамиды до этой плоскости равно .

Решение

Пусть K – середина ребра SD (рис.1). Тогда KN – средняя линия треугольника CSD , поэтому

KN || CD || BM, KN = CD = AB = BM.
Значит, четырёхугольник BMKN – параллелограмм. Тогда KM || BN . Следовательно, секущая плоскость α , о которой говорится в условии задачи, параллельна пересекающимся прямым SM и KM . Треугольник DSM – сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые SM и KM , значит, плоскость α параллельна плоскости DSM . Тогда она пересекает плоскость основания пирамиды по прямой, проходящей через центр H квадрата ABCD параллельно прямой DM . Пусть эта прямая пересекается с прямыми AB и CD в точках P и Q соответственно. Тогда PH – средняя линия треугольника BMD , поэтому P – середина отрезка BM , а точка Q делит отрезок CD в отношении DQ:QC=1:3 . Плоскость α пересекает грань CSD по прямой, проходящей через точку Q параллельно DS , значит, эта прямая пересекает боковое ребро SC в точке F , делящей это ребро также в отношении SF:FC = 1:3 . Плоскость α пересекает грань ASB по прямой, проходящей через точку P параллельно MS , значит, эта прямая пересекает боковое ребро SB в его середине L . Таким образом, рассматриваемое сечение – четырёхугольник PLFQ , причём
= = , BL=LS, = .
Пусть L' и F' – ортогональные проекции точек соответственно L и F на плоскость основания пирамиды. Тогда L' – середина отрезка BH , а точка F' делит отрезок CH на отрезки, пропорциональные отрезкам SF и FC , т.е. = = . Четырёхугольник PL'F'Q – ортогональная проекция рассматриваемого сечения на плоскость основания пирамиды (hbc.2). Обозначим через a сторону квадрата ABCD (по условию a= ). Тогда
S_ABCD=a2, S_{Δ AHB} = S_{Δ BHC} = S_{Δ CHD}= a2.
Тогда
S_{Δ PHL'} = S_{Δ PHB} = · S_{Δ BMH} = · S_AHB = a2,

S_{Δ L'HF'} = · S_{Δ BHC} = · S_{Δ BHC} = a2,

S_{Δ QHF'} = S_{Δ CHQ} = · S_{Δ CHD} = · S_{Δ CHD}=· a2= a2.
Следовательно,
S_PL'F'Q = S_{Δ PHL'}+S_{Δ L'HF'}+S_{Δ QHF'}=

=a2+a2+a2 = a2= ()2 = · = 1.
Если угол между плоскостью основания и плоскостью сечения равен ϕ , а искомая площадь сечения равна S , то по теореме о площади ортогональной проекции S = . Значит, задача сводится к нахождению cos ϕ . Поскольку секущая плоскость и плоскость DSM параллельны (рис.1), расстояние между ними равно расстоянию до секущей плоскости от точки S , т.е. . Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки H на прямую DM . Тогда прямая MD перпендикулярна двум пересекающимся прямым HE и SH плоскости SEH . Тогда, если HG – высота треугольника SEH , то HG – перпендикуляр к плоскости DMS . Следовательно, его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями DMS и α , т.е. HG= . Из прямоугольных треугольников MEH и EGH находим, что
HE = MH sin EMH= MH sin MDA = MH· = · = = ,

sin ϕ = sin SEH = sin GEH = = = .
Тогда
cos ϕ = = = .
Поскольку плоскости α и DMS параллельны, угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды также равен ϕ . Следовательно,
S = = = 6.

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8605