Задача 110420

Темы:    [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть r0 – радиус вневписанной сферы тетраэдра, касающейся грани площади S0 , а S1 , S2 и S3 – площади остальных граней тетраэдра. Докажите, что объём тетраэдра можно вычислить по формуле V=(S1+S2+S3-S0)· r0 .

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r0 , касающейся грани ABC и продолжений граней ABD , BDC и ADC тетраэдра ABCD и при этом

S_{Δ ABC} = S0, S_{Δ ADB} = S1, S_{Δ BDC} = S2, S_{Δ ADC} = S3.
Соединим точку O со всеми вершинами тетраэдра и рассмотрим треугольные пирамиды OABC , OABD , OBDC и OADC с общей вершиной O и высотами, равными r0 , проведёнными из этой вершины. Если V – объём тетраэдра ABCD , то
V = V_OABD+V_OBDC+V_OADC-V_ABCD =

=S_{Δ ADB}· r0 +S_{Δ BDC}· r0+ S_{Δ ADC}· r0 - S_{Δ ABC}· r0=

=S1· r0 +S2· r0+ S3· r0 - S0· r0=

=(S1+S2+S3-S0)· r0.
Что и требовалось доказать

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8606