Задача 110422

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB=4 , AD = AA1 = 14 . Точка M – середина ребра CC1 . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A1 , D и M .

Решение

Пусть прямые DM и D1C1 пересекаются в точке K , а прямые A1K и B1C1 – в точке L . Тогда рассматриваемое сечение – четырёхугольник A1DML (рис.1). Его ортогональная проекция на плоскость основания A1B1C1D1 – четырёхугольник A1LC1D1 . Из равенства треугольников CMD и C1MK (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что KC1=CD = 4 , а из равенства треугольников KLC1 и A1LB1 (также по стороне и двум прилежащим к ней углам) – C1L = B1L . Значит, L – середина ребра B1C1 . Поэтому

S_A1LC1D1 = S_A1B1C1D1 = · 14 · 4 = 42.
Пусть H – основание перпендикуляра опущенного из вершины D1 на прямую A1K (рис.2). По теореме о трёх перпендикулярах DH A1K , значит, DHD1 – линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и основания. Обозначим DHD1 = α . Из прямоугольных треугольников A1KD1 и DD1H находим, что
A1K = = = 2,

D1H = = = ,

tg α = tg DHD1 = = = .
Тогда cos α = . Следовательно,
S_сеч. = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8608