Задача 110423

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC ( B = 90^o , AB=BC=10 ); AA1=BB1=CC1=12 . Точка M – середина бокового ребра AA1 . Через точки M и B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45^o и пересекающая ребро CC1 в точке E . Найдите CE .

Решение

Пусть прямые ME и A1C1 пересекаются в точке P . Тогда плоскость сечения пересекается с плоскостью основания A1B1C1 по прямой B1P (рис.1). Предположим, что точка P лежит на продолжении ребра A1C1 за точку A1 . Опустим перпендикуляр A1K из точки A1 на прямую B1P . По теореме о трёх перпендикулярах MK B1P , значит, A1KM – линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. По условию задачи A1KM = 45^o . Из прямоугольных треугольников A1B1C1 , A1KM и A1KB1 находим, что

A1C1 = 10, A1K = A1M = 6, B1K = = = 8.
Рассмотрим треугольник PB1C1 (рис.2). Обозначим KA1B1 = α . Тогда
cos α = = = , sin α = ,

PA1K = 180^o-45^o-α = 135^o-α,

PA1 = = = =

= = 30, PC1 = PA1+A1C1 = 30+10=40.
Из подобия треугольников PEC1 и PMA1 находим, что
EC1 = MA1· = 6· = 6· = 8.
Следовательно,
CE = CC1-EC1= 12-8 = 4.
Если точка P лежит на продолжении ребра A1C1 за точку C1 , то, рассуждая аналогично, получим, что
cos α = , sin α = ,

PA1K = 45^o + 90^o-α = 135^o-α,

PA1 = = = =

= = -30,
что невозможно.

Ответ

4.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8609