Задача 110424

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основание правильной четырёхугольной пирамиды – квадрат со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный arctg . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Решение

Пусть PH – высота правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P , K и Q – середины противоположных сторон соответственно AB и CD основания ABCD (рис.1). Поскольку секущая плоскость проходит через прямую AB , параллельную плоскости боковой грани CPD , она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной AB и CD . Значит, рассматриваемое сечение – трапеция ABMN (точка M лежит на ребре CP , N – на DP . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью KPQ (рис.2). Поскольку пирамида правильная, эта плоскость перпендикулярна ребру AB . Значит, PKQ – линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, а если L – точка пересечения отрезков MN и PQ , то LKQ – линейный угол между плоскостью основания и плоскостью сечения ABMN . Обозначим LKQ = α , PKQ = β . По условию задачи tg α = . Тогда cos α = , sin α = . Из прямоугольного треугольника PHK находим, что

PK = = = .
Тогда
cos β = = , sin β = = .
Поэтому
sin PKL = sin ( PKQ - LKQ) = sin (β - α) =

= sin β cos α - cos β sin α = · - · = .
Вычислим площадь треугольника KPQ двумя способами. С одной стороны,
S_{Δ KPQ} = KQ· PH = · 8· 9 = 36,
С другой –
S_{Δ KPQ} = S_{Δ KLQ}+S_{Δ KLP} = KL· KQ sin α + KL· PK sin (β - α)=

= KL(8· + · )= KL.
Из уравнения KL=36 находим, что KL= . Кроме того, из равенства площадей треугольников KLQ и KLP (каждая из них равна KL· ) следует, что L – середина PQ . Значит, MN – средняя линия треугольника CPD . Поэтому MN= CD = 4 , а т.к. KL – высота трапеции ABMN , то
S_ABMN = (AB+MN)· KL = (8+4)· = 45.

Ответ

45.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8610