Задача 110425

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана пирамида ABCD . Сфера касается плоскостей DAB , DAC и DBC в точках K , L и M соответственно. При этом точка K находится на стороне AB , точка L – на стороне AC , точка M – на стороне BC . Известно, что радиус сферы равен 3, ADB = 90^o , BDC = 105^o , ADC = 75^o . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть O – центр сферы (рис.1). Тогда радиус OK перпендикулярен касательной плоскости – плоскости грани DAB , значит, треугольник OKD – прямоугольный. Аналогично, треугольники OMD и OLD – также прямоугольные, причём отрезок DO – их общая гипотенуза, а катеты OK , OM и OL равны как радиусы сферы. Следовательно, DK=DM=DL . Сечение сферы плоскостью ABC есть окружность, вписанная в треугольник ABC . Пусть Q – её центр. Поскольку боковые рёбра треугольной пирамиды KLMD равны, высота этой пирамиды (а значит, и пирамиды ABCD ) проходит через центр окружности, описанной около основания KLM , т.е. через точку Q , а т.к. QK AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DK AB , т.е. DK – высота грани ADB . Аналогично, DM и DL – высоты граней BDC и ADC . Высота треугольной пирамиды KLMO с равными боковыми рёбрами OK , OL и OM также проходит через точку Q . Таким образом, точка Q лежит на общей гипотенузе равных прямоугольных треугольников OKD , OMD и OLD , причём прямая DO перпендикулярна плоскости ABC . Обозначим BDK = α . Тогда из равенства прямоугольных треугольников BDK и BDM следует, что BDM = BDK = α . Аналогично,

ADL = ADK = 90^o-α, CDL = CDM = 105^o-α,
а т.к.
75^o = ADC = ADL+ CDL = 90^o-α + 105^o-α= 195^o-2α,
то
α = (195^o-75^o) = · 120^o = 60^o.
Тогда
ADL = ADK = 90^o-α =90^o-60^o= 30^o,

CDL = CDM = 105^o-α = 105^o-60^o = 45^o.
Обозначим DK=DM=DL=h . Из прямоугольных треугольников BDK , DMC и ALD находим, что
BK = DK tg 60^o = h, CM = DM tg 45^o = h, AL = DL tg 30^o = .
Пусть S – площадь треугольника ABC , p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности. По формуле Герона
S== h2.
С другой стороны,
S = pr = (h+h+)r= hr(+1+).
Из уравнения
h2 = hr(+1+)
находим, что
=.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ODK (рис.2). Обозначим ODK = ϕ . Из прямоугольного треугольника DQK находим, что
sin ϕ = sin KDQ = = =.
Тогда
ctg ϕ = = = = ,

h=DK = OK ctg KDO = 3 ctg ϕ = =2,

r=KQ = h sin ϕ = 2· , p= = 2· ,

S=p· r = 2· · 2· = 12,

DQ = DK cos ϕ = h ctg ϕ sin ϕ = 2· · = .
Следовательно,
V_ABCD = S· DQ = · 12· = 48.

Ответ

48.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8611