Задача 110444

Темы:    [ Куб ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите радиус сферы, проходящей через точки A , B , C1 и середину ребра B1C1 .

Решение

Пусть M – середина ребра B1C1 (рис.1). Центр O сферы, проходящей через точки A , B , C1 и M , равноудален от концов отрезка AB , значит, точка O лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину. Аналогично, точка O лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку MC1 и проходящей через его середину, а также – в плоскости, перпендикулярной диагонали BC1 грани BB1C1C и проходящей через его середину, т.е. через центр Q квадрата BB1C1C . Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость BB1C1C . Пусть O' – проекция центра сферы, N – середина BC , K – середина CN , L – середина MC1 , H – середина AB . Тогда O'K – средняя линия треугольника NQC , поэтому

O'K=QN = · BB1 = .
Если P – ортогональная проекция точки O на плоскость ABCD (рис.2), то OP=O'K = . Пусть R – искомый радиус. Тогда
R=OA= = =

== = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8630