Задача 110447

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В шар радиуса 4 вписана правильная шестиугольная пирамида с высотой 6, а в неё вписан второй шар. Найдите радиус второго шара.

Решение

Пусть PABCDEF – правильная шестиугольная пирамида с вершиной P (рис.1), PH – её высота, M и N – середины сторон соответственно AB и DE , O – центр вписанного шара. Обозначим AB=AH = a , R – радиус описанного шара. По условию задачи PH=6 , R=4 . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через боковые рёбра PA и PD (рис.2). Тогда высота PH , а значит, и центр описанного шара, лежит в этой плоскости. Сечение сферы, описанной около пирамиды, – окружность радиуса R , описанная около равнобедренного треугольника APD . Продолжим высоту PH до пересечения с этой окружностью в точке Q . Тогда DH=a – высота прямоугольного треугольника PDQ , проведённая из вершины прямого угла PDQ . Значит, DH2 = PH· HQ , или

a2=PH(PQ-PH) = 6(2R-6)=6(8-6)=12,
откуда a=2 . Тогда
MH = = =3.
Центр O шара, вписанного в правильную пирамиду, также лежит на её высоте, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах пирамиды. Пусть радиус шара равен r . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , M и N (рис.3). Получим равнобедренный треугольник PMN и вписанную в него окружность радиуса r с центром Q . Обозначим PMH = β . Из прямоугольного треугольника PMH находим, что
tg β = = =2.
Центр окружности, вписанной в угол лежит, на биссектрисе этого угла, поэтому O1MH = . Подставив tg β = 2 в левую часть формулы tg β = , найдём, что tg = . Следовательно,
r=O1H = MH tg = 3· =.

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8643