Задача 110449

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Теорема косинусов ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 60^o . Угол между наклонными равен 120^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BMC = - .

Решение

Из прямоугольных треугольников AHM и BHM (рис.1) находим, что

AM=BM= = = 2, AH=BH = 3.
По теореме косинусов
AB = = = =6.
Поскольку AH+BH = 3+3=6=AB , точки A , H и B лежат на одной прямой, причём H – середина отрезка AB , а точки A , H , B и M лежат в одной плоскости (рис.2). Поскольку AH – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость α и AH AC , то по теореме о трёх перпендикулярах AM AC . Значит, треугольник MAC – также прямоугольный. Обозначим AC=x . По теореме Пифагора
MC = = , BC = = .
По теореме косинусов
BC2 = MC2+MB2-2MC· MB cos BMC,
или
x2+36 = (x2+12)+12 - 2· 2· (-).
Из этого уравнения находим, что x= . Следовательно,
V_MABC = S_{Δ ABC}· MH= · AB· AC · MH = · 6· · = 3.

Ответ

Ю) 6; А) 3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8645