Задача 110459

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Три сферы, радиусы которых равны , 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость γ так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его с arccos .

Решение

Поскольку вторая и третья сфера равны, они не могут касаться внутренним образом. Значит, AB = 2. Если первая сфера касается одной из равных сфер внешним образом, а второй – внутренним, то центры трёх сфер лежат на одной прямой. Тогда плоскость γ проходит через центр O первой сферы, что противоречит условию задачи. Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внешним образом. Тогда OA = OB = 1+ . Опустим перпендикуляр OH из точки O на плоскость γ . Из прямоугольных треугольников OAH и OBH находим, что

BH=AH = = =.
Тогда по тереме косинусов
cos AHB = = =

= = = .
Пусть сферы с центрами A и B касаются сферы с центром O внутренним образом. Тогда OA=OB = -1 и аналогично получим, что cos AHB = - . Углом между пересекающимися прямыми называется угловая мера наименьшего из углов, образованных пересечением этих прямых. Поэтому в каждом из двух разобранных случаев косинус угла между прямыми AH и BH равен , а т.к.
= > = ,
то arccos < arccos .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8655