ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110461
Условие
Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник
ABCDEF , а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости
основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD
равны соответственно Решение
а) В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ BD перпендикулярна
стороне AB (рис.2). Прямая SB – наклонная к плоскости основания пирамиды (рис.1),
а AB – её ортогональная проекция. По теореме о трёх перпендикулярах
BD то Возведя в квадрат обе части каждого уравнения и затем разделив почленно первое на второе, получим уравнение из которого находим, что h2= б) Пусть O – центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина стороны BC . Из свойств правильного шестиугольника следует, что OK Учитывая, что A'C' = B'D' , из прямоугольных треугольников D'LC' и A'LC' находим, что откуда x= Поскольку отрезок B'D' – наибольшая сторона треугольника A'B'D' , а т.к. то треугольник A'B'D' – остроугольный, поэтому основание M его высоты D'M лежит на стороне A'B' , а не на её продолжении. Из прямоугольного треугольника A'MD' находим, что Пусть вершина X рассматриваемого треугольного сечения SDX лежит на отрезке AB . Тогда её ортогональная проекция X' лежит на отрезке A'B' , а высота XY треугольника SDX параллельно плоскости α , поэтому XY=D'X' . Высота XY минимальна (а значит, минимальна и площадь треугольника SDX ), если минимален отрезок D'X' , т.е. X' совпадает с точкой M . Если же вершина X лежит на отрезке BC , то высота XY минимальна (а значит, минимальна и площадь треугольника SDX ), если точка X' совпадает с точкой C' , т.к. угол D'C'B' – тупой как угол при меньшем основании B'C' равнобедренной трапеции A'B'C'D' . Поскольку D'C' = Следовательно Ответ
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке