Задача 110465

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основание H высоты SH треугольной пирамиды SABC принадлежит грани ABC , SH = , SA = 1 , SB = 2 , ASB = 120^o , ACB = 60^o . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC .

Решение

По теореме косинусов из треугольника ASB находим, что

AB = =

== = .
Пусть SD – высота треугольника ASB . Тогда
S_{Δ ASB} = AB· SD = · SD.
С другой стороны,
S_{Δ ASB} = AS· BS sin 120^o = · 1· 2· = .
Из уравнения · SD = находим, что SD = . По теореме о трёх перпендикулярах HD AB , поэтому SDH – линейный угол двугранного угла между плоскостями граней ASB и ABC . Обозначим SDH = β . Из прямоугольного треугольника SDH находим, что
sin β = = = .
Тогда cos β = . Пусть O1 и O2 – проекции центра O сферы, описанной около пирамиды ABCD на плоскости граней ABC и ASD соответственно. Тогда O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABC и ASB . Тогда, если M – середина ребра AB , то O1M AB и O2M AB . Поскольку ASB = 120^o > 90^o , центр O2 описанной окружности треугольника ASB и вершина S лежат по разные стороны от прямой AB , значит, центр O сферы лежит внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями граней ASB и ABC . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямые O1O и O2O . Прямая AB перпендикулярна этой плоскости, т.к. она перпендикулярна двум её пересекающимся прямым O1O и O2O , а т.к. O1M AB и O2M AB , то точка M также принадлежит этой плоскости. Заметим, что
AO1B = 2 ACB= 120^o, AO2B = 360^o - 2 ASB= 360^o- 240^o = 120^o,
поскольку центральный угол вдвое больше соответствущего вписанного. Из равных равноберенных треугольников AO1B и AO2B находим, что
O1M=O2M = AM ctg 60^o = · = , BO1 = 2O1M = .
Прямоугольные треугольники OMO1 и OMO2 равны по гипотенузе и катету, поэтому MOO1 = MOO2 , а т.к. O1OO1 = β , то MOO1 = . Тогда
OO1 = O1M ctg = · = · = .
Пусть R искомый радиус описанной сферы пирамиды ABCD . Из прямоугольного треугольника OO1B находим, что
R=OB = = =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8661