Задача 110469

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC:AD = 2:5 . Диагонали трапеции пересекаются в точке E , а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE = 7:2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.

Решение

Обозначим

S_{Δ BSC} = S1, S_{Δ ASB} = S2, S_{Δ ASD} = S3, S_{Δ CSD} = S4, S _осн. = S_ABCD = S,

V_SBEC = V1, V_SAEB = V2, V_SAED = V3, V_SCED = V4, V_SABCD = V.
По условию S1=8 . Заметим, что
= = =, = ()2 = , = = =,
поэтому
S2=S1= · 8 = 20, S3=S1= · 8 = 50, S4=S1= · 8 = 20.
Значит,
S _бок.= S1+ S2+ S3+ S4 = 8+20+50+20 = 98.
Пусть r – радиус вписанной в пирамиду сферы, h – высота пирамиды. Тогда
V=S _полн.r = S _осн.h,
а т.к. центр O вписанной сферы лежит на отрезке SE , то == , поэтому
= = .
С другой стороны, высоты пирамид SBEC , SAEB , SAED и SCED , проведённые из общей вершины E , равны r , поэтому
V=V_SBEC + V_SAEB+ V_SAED + V_SCED = V1+ V2+ V3+ V4=

=S1· r + S2· r + S3· r + S4· r = · r(S1+ S2+ S3+ S4)r =

=S _бок.r = S _полн.r,
откуда = . Следовательно,
S _полн. = S _бок. = · 98 = 126.

Ответ

126.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8665