ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110483
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Боковая поверхность параллелепипеда ]
[ Сфера, описанная около призмы ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В сферу радиуса    вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.


Решение

  Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед – прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через a, b и c. Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен abc. Из условия задачи следует, что   a² + b² + c² = 12,  abc = 8.
  Согласно неравенству Коши     Поскольку равенство достигается, только когда  a² = b² = c²,  то
a = b = c = 2.  Следовательно, площадь поверхности равна  6a² = 24.


Ответ

24.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8679

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .