Задача 110488

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ] [ Построения на проекционном чертеже ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , каждое ребро которой равно 2, построено сечение плоскостью, параллельной диагонали основания AC и боковому ребру SB пирамиды и пересекающей ребро AB . Найдите периметр многоугольника, полученного в этом сечении, если нижнее основание сечения равно .

Решение

Пусть секущая плоскость пересекает диагональ BD основания пирамиды в точке E , а прямые AB и BC – в точках M и N соответственно. Тогда плоскость основания проходит через прямую AC параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой MN , значит, MN || AC . Кроме того, по условию задачи

MN= = · 2 = AC,
поэтому MN – средняя линия треугольника ABC , т.е. M и N – середины рёбер AB и BC соответственно. Пусть секущая плоскость пересекает боковое ребро SA в точке L . Тогда плоскость боковой грани ASB проходит через прямую SB , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой ML , значит, ML || SB , а т.к. M – середина AB , то L – середина SA . Аналогично докажем, что секущая плоскость пересекает боковое ребро SC в его середине K . Следовательно,
ML = KN = SB = 1.
Пусть секущая плоскость пересекает прямую SD в точке P . Треугольник BSD – прямоугольный, поскольку
BD2 = (2)2 = 8 = 4+4 = SB2+SD2,
а т.к. SD MN и PE || SB , то прямая SB перпендикулярна секущей плоскости. Следовательно, LP SD , т.е. LP – перпендикуляр, опущенный из середины L стороны SA равностороннего треугольника ASD со стороной 2. Значит, если H – середина SD , то
KP = LP = AH = · = .
Таким образом, периметр сечения равен
MN+ML+NK+LP+KP = + 1+1+ + = 2 ++ .

Ответ

2 + + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8684