Задача 110491

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана треугольная пирамида, рёбра которой равны 15, 9, 9, 12, 12, 3. Найдите радиус описанной вокруг пирамиды сферы и объём пирамиды.

Решение

Из отрезков, равных 3, 9 и 12, нельзя составить треугольник, поэтому поверхность пирамиды состоит из двух равнобедренный треугольников со сторонами 9, 9, 3 и 12, 12, 3 и двух равных треугольников со сторонами 9, 12, 15. Пусть пирамида ABCD такая: DA=15 , DB=DC=12 , AB=AC = 9 и BC=3 . Заметим, что треугольники ABD и ACD – прямоугольные ( 92+122 = 81+144 = 225 = 152 ) с прямыми углами при вершинах B и C соответственно (рис.1). Пусть DH – высота пирамиды. Поскольку DB=DC , точка H лежит на серединном перпендикуляре к ребру BC , а т.к. AB=AC , то прямая AH содержит высоту равнобедренного треугольника ABC . По теореме о трёх перпендикулярах HB AB и HC AC , значит, точки A и H в плоскости основания лежат по разные стороны от прямой BC . Пусть M – точка пересечения отрезков BC и AH . Тогда M – середина BC . Обозначим BAH = α . Из прямоугольных треугольников ABH , ABM и ADH (рис.2) находим, что

sin α = = = , cos α = = ,

AH = = = , AM = AB cos α = 9· =

DH = = = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · · 3· · = .
Пусть Q – центр окружности, описанной около треугольника ABC , r – её радиус, O – центр сферы радиуса R , описанной около тетраэдра ABCD . Тогда
r= = = = = .
Точка O равноудалена от вершин треугольника ABC , поэтому она лежит на прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно плоскости ABC . Обозначим OQ=x . Из точки O опустим перпендикуляр OF на высоту DH . Из прямоугольных треугольников DOF и OQB находим, что
R2 = OD2 = OF2+DF2 = (AH-AQ)2+(DH-OQ)2 = ()2 + (-x)2,

R2 = OB2 = QB2+OQ2 = ()2 + x2.
Приравняв правые части этих равенств, получим уравнение
()2 + (-x)2= ()2 + x2,
из которого находим, что x= . Следовательно,
R= = = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8688