Задача 110493

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом . Каждое боковое ребро равно и наклонено к плоскости основания под углом . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть DH высота треугольной пирамиды ABCD , основание ABC которой – прямоугольный треугольник ABC с углами ACB = , BAC = . Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, точка H – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC , т.е. – середина гипотенузы AB . Из прямоугольных треугольников ADH и ABC находим, что

DH = AD sin DAH = sin , AB = 2AH = 2 cos ,

BC = AB sin BAC = AB sin , AC = AB cos BAC = AB cos .
Следовательно,
V_ABCD = _{Δ ABC}· DH = · BC· AC · DH = AB sin · AB cos · sin =

= sin AB2 sin = · 24 cos2· sin =

=· 2 cos sin cos = sin cos .

Ответ

sin cos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8690