Условие
В правильную треугольную пирамиду
SABC с основанием
ABC вписан шар, к нему проведена касательная плоскость,
параллельная грани
ASC . Эта плоскость пересекает ребро
SB в точке
M , причём
BM:MS=1
,55
. Найдите косинус
угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
Решение
Поскольку пирамида правильная, центр
O её вписанного шара лежит
на высоте
SH (рис.1), точка
N касания шара с плоскостью грани
ASC
лежит на апофеме
SK (
K – середина
AC ), точка касания шара
с плоскостью основания пирамиды совпадает с точкой
H , а точка
Q
касания шара с секущей плоскостью лежит на прямой, проходящей через
точку
M параллельно апофеме
SK .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью
BKS (рис.2).
прямая
MQ пересекает медиану
BK треугольника
ABC в
точке
P . Обозначим
BK = a . Тогда
= 
= 1,55,
= 
= 
= 
=
= 
= 
,
KP = BK = a,
KH = 
BK = a = 
a,
PQ = PH = KP-KH = a - a = 
a,
KN = KH = a.
Поскольку
OQ 
PM и
ON SK (как радиусы, проведённые в точки
касания) и
MP || SK , точки
N ,
O и
Q лежат на одной прямой.
Пусть
L – основание перпендикуляра, опущенного из точки
P на
SK .
Если
α – угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания,
то
cos α = cos 
SKH = cos LKH = 
=
= 
=
=
= 
= 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8693 |
