ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110496
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В правильную треугольную пирамиду SABC с основанием ABC вписан шар, к нему проведена касательная плоскость, параллельная грани ASC . Эта плоскость пересекает ребро SB в точке M , причём BM:MS=1,55 . Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

Решение

Поскольку пирамида правильная, центр O её вписанного шара лежит на высоте SH (рис.1), точка N касания шара с плоскостью грани ASC лежит на апофеме SK ( K – середина AC ), точка касания шара с плоскостью основания пирамиды совпадает с точкой H , а точка Q касания шара с секущей плоскостью лежит на прямой, проходящей через точку M параллельно апофеме SK . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BKS (рис.2). прямая MQ пересекает медиану BK треугольника ABC в точке P . Обозначим BK = a . Тогда

= = 1,55, = = = = = = ,


KP = BK = a, KH = BK = a = a,


PQ = PH = KP-KH = a - a = a, KN = KH = a.

Поскольку OQ PM и ON SK (как радиусы, проведённые в точки касания) и MP || SK , точки N , O и Q лежат на одной прямой. Пусть L – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на SK . Если α – угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания, то
cos α = cos SKH = cos LKH = = = =


= = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8693

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .