Задача 110517

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Три шара радиуса r касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом. При каком соотношении между r и R это возможно? Считая, что R>r , найдите радиус шара, касающегося всех четырёх шаров внешним образом.

Решение

Пусть A , B и C – центры шаров радиуса r , D – центр шара радиуса R . Поскольку линия центров двух касающихся шаров проходит через их точку касания, рёбра пирамиды ABCD равны DA = DB = DC = r+R , AB=BC = AC = 2r , значит, ABCD – правильная пирамида с вершиной D . Пусть O – центр шара радиуса x , касающегося четырёх данных шаров. Тогда OA=OB=OC = r+x и OD = R+x . Точка O равноудалена от вершин равностороннего треугольника ABC , значит, она лежит на прямой DP , где P – центр равностороннего треугольника ABC . Чтобы шар радиуса R касался трёх шаров радиуса r должно выполняться условие AD>AP , т.е. r+R , откуда R ( - 1)r . Обозначим ADP = BDP = CDP = α . Из прямоугольного треугольника ADP находим, что

sin α = = .
Тогда
cos α = = = .
Из тругольника ADO по теореме косинусов находим, что
AO2 = AD2+DO2 - 2AD· DO cos α,
или
(x+r)2 = (r+R)2+(x+R)2 - 2(r+R)(x+R)· ,
откуда
x=.
Подкоренное выражение неотрицательно, т.к. из неравенства r+R следует неравенство R2+2Rr - 0 .

Ответ

R ( - 1)r ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8715