Задача 110544

Темы:    [ Конус ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

Решение

Пусть OM – высота конуса, точка D лежит на образующей OE конуса (рис.1), а r – радиус окружности основания. Тогда

AC = OA = 5, AOE = BOD = 60^o, AE = OA=OE = 5,

r = ME = = = 3.
Обозначим AEC = α , CAE = β . Тогда
sin α = = , cos α = = ,

sin β = sin (180^o-2α) = sin 2α = 2 sin α cos α = 2· · = .
Поскольку треугольники OBD и OAE – равносторонние, BD || AE , значит, угол между скрещивающимися прямыми AC и BD равен углу между пересекающимися прямыми AC и AE , т.е. синус этого угла равен sin β = . Пусть d – расстояние между прямыми AC и BD . Прямая BD параллельна плоскости основания конуса, содержащей прямую AC , значит, расстояние d между прямыми AC и BD равно расстоянию от точки B до плоскости основания конуса, а т.к. высота конуса равна 4 и OB=3 , то
d=OM· = 4· = .
Пусть V – объём пирамиды ABCD . Тогда
V=AC· BD· d sin β = · 5· 3· · = .
Высоты равносторонних треугольников AOC и AOE , опущенные на общую сторону OA , проходят через середину P образующей AO , значит, CPE – линейный угол двугранного угла между плоскостями AOC и AOE , или линейный угол искомого двугранного угла при ребре AB пирамиды ABCD . Пусть CPE = ϕ , а L – середина основания CE равнобедренного треугольника ACE . Тогда
CL = AE cos α = 5· = , sin = = =.
Заметим, что центр Q сферы, описанной около пирамиды ABCD , равноудалён от концов отрезка AC , значит, точка Q лежит в плоскости, перпендикулярной прямой AC и проходящей через середину AC . Аналогично, точка Q лежит в плоскости, перпендикулярной прямой BD и проходящей через середину BD . Эти две плоскости пересекаются по прямой OM , поэтому центр сферы лежит на прямой OM . Обозначим OQ=x , QB=QA = R – искомый радиус сферы (рис.2). Тогда QM = |OQ-OM| = |x-4| . В треугольниках AMQ и OBQ
R2 = QA2 = AM2+MQ2 = 9+(x-4)2,

R2 = QB2 = OB2 +OQ2 -2OB· OQ cos BOQ = 9+x2 - 2· 3· x · = 9+x2-x.
Из уравнения
9+(x-4)2 = 9+x2-x
находим, что x=5 . Следовательно,
R2 = 9+(x-4)2 = 9+1=10, R=.

Ответ

V= ; ϕ = 2 arcsin ; R= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8743