Задача 110738

Темы:    [ Объем помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

(Теорема Бретшнейдера.)}Пусть противоположные рёбра тетраэдра равны a и b , а соответствующие им двугранные углы равны α и β . Докажите, что выражение a2+b2 + 2ab ctg α ctg β не зависит от выбора рёбер.

Решение

Пусть ABCD – тетраэдр, в котором AB=a , CD=b , двугранный угол при ребре AB равен α , при ребре CD – β . Обозначим через γ и δ двугранные углы при рёбрах AD и BD соответственно, μ и ϕ – при рёбрах BC и AD соответственно. Пусть CH – высота тетраэдра. Тогда CH = . Если H1 , H2 и H3 – проекции точки H на прямые AB , AD и BD соответственно, то из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что

CH1H = α, CH2H = γ, CH3H = δ.
Из прямоугольных треугольников CH1H , CH2H и CH3H находим, что
HH1=CH ctg α, HH2=CH ctg γ, HH3=CH ctg δ.
Тогда
V_ABCD = V_ABCH+V_ACDH+V_BCDH =

=S_{Δ ABH}· CH + S_{Δ ADH}· CH +S_{Δ BDH}· CH =

= CH(S_{Δ ABH} + S_{Δ ADH}+S_BDH) = CH(AB· HH1+AD· HH2+ BD· HH3) =

=CH2(a ctg α+AD ctg γ+BD ctg δ)=

=· · (a ctg α+AD ctg γ+BD ctg δ).
Отсюда
a ctg α+AD ctg γ+BD ctg δ = .
Аналогично,
a ctg α+AC ctg ϕ+BC ctg μ = ,

b ctg β+BC ctg μ+BD ctg δ = ,

AD ctg γ+b ctg β+AC ctg ϕ = .
Складывая почленно первое и второе из этих равенств и вычитая из результата сумму третьего и четвёртого, после очевидного упрощения получим равенство
a ctg α - b ctg β = (S2_{Δ ADB}+S2_{Δ ABC}- S2_{Δ BDC} - S2_{Δ ADC}).
Так как
(a ctg α - b ctg β)2 = a2 ctg2 α + b2 ctg2 β- 2ab ctg α ctg β =

= a2(-1) +b2(-1)- 2ab ctg α ctg β=

=+ -a2-b2-2ab ctg α ctg β,
а из равенств
V_ABCD = , V_ABCD =
следует, что
= , = ,
то
a2+b2 +2ab ctg α ctg β= + - ((S2_{Δ ADB}+S2_{Δ ABC}- S2_{Δ BDC} - S2_{Δ ADC}))2=

=+ - (S2_{Δ ADB}+S2_{Δ ABC}- S2_{Δ BDC} - S2_{Δ ADC})2=

=.
Отсюда следует, что выражение a2+b2 + 2ab ctg α ctg β зависит только от площадей граней тетраэдра и от его объёма, и не зависит от выбора рёбер тетраэдра.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8091