Задача 110740

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью проекций и плоскостью проектируемого многоугольника.

Решение

Предположим, что сторона AB треугольника ABC лежит на плоскости проекций (рис.1). Тогда, если C' – ортогональная проекция вершины C , то треугольник ABC' – ортогональная проекция треугольника ABC на эту плоскость. Пусть CH – высота треугольника ABC . Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что C'H – высота треугольника ABC' . Значит, CHC' – линейный угол двугранного угла между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекций. Если этот угол равен ϕ , то C'H = CH cos ϕ . Следовательно, если S – площадь треугольника ABC , а S' – площадь треугольника ABC' , то

S' = AB· C'H = AB· CH cos ϕ = S cos ϕ.
Ясно, что доказанное утверждение остаётся верным, если одна из сторон треугольника параллельна плоскости проекций. Пусть ни одна из сторон треугольника не лежит на плоскости проекций и не параллельна ей. Через каждую вершину треугольника проведём плоскость, параллельную плоскости проекций. Одна из этих плоскостей разобьёт треугольник на два треугольника, для каждого из которых доказываемое утверждение верно (рис.2). Пусть S1 и S2 – площади этих треугольников, S1' и S2' – площади их проекций. Тогда
S'=S1'+S2' = S1 cos ϕ + S2 cos ϕ= (S1+S2) cos ϕ= S cos ϕ.
Рассмотрим произвольный плоский многоугольник с площадью S . Разобьём его на треугольники. Пусть S1 , S2 , S_k – их площади, а S1' , S2' , S_k' соответственно – площади их проекций. Тогда, если S' – площадь ортогональной проекции многоугольника, то
S'= S1'+S2'+.. +S_k' = S1 cos ϕ + S2 cos ϕ+.. + S_k cos ϕ =

= (S1+S2+.. + S_k) cos ϕ = S cos ϕ.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8093