Задача 110741

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Теорема косинусов для тетраэдра.}Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трёх остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между ними, т.е.

S20 = S21+S22+S23- 2S1S2 cos α12- 2S1S3 cos α13- 2S2S3 cos α23.

Решение

Пусть α , β и γ — углы, которые образуют плоскости граней, имеющих площади соответственно S1 , S2 и S3 , с плоскостью грани, площадь которой равна S0 . Спроектируем ортогонально первые три грани на четвёртую. Получим равенство

S0=S1 cos α + S2 cos β + S3 cos γ.
Аналогично получим ещё три равенства:
S1=S0 cos α + S2 cos α12 + S3 cos α13,

S2=S0 cos β + S1 cos α12 + S3 cos α23,

S3=S0 cos γ + S1 cos α13 + S2 cos α23.
Умножим первое из этих равенств на S0 , второе, третье и четвёртое соответственно на -S1 , -S2 , -S3 и сложим почленно 4 полученных равенства:
S20 - S21- S22- S23 = -2S1S2 cos α12- 2S1S3 cos α13- 2S2S3 cos α23,
откуда
S20 = S21+S22+S23- 2S1S2 cos α12- 2S1S3 cos α13- 2S2S3 cos α23.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8094