Задача 110747

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Биссекторная плоскость ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.

Решение

Пусть плоскость, проходящая через сторону AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD пересекает высоту PM пирамиды в точке K , причём MK = d . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PG и PH лежащие в гранях APB и CPD . Тогда PGH – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания, а GK – биссектриса этого угла. Обозначим KGM = α , PM=h , AB=a . Тогда

PGM = 2α, MG = GH = AB = .
Из прямоугольных треугольников KMG и PMG находим, что
=MG = = ,

h=PM = MG tg PGM = · tg 2α = · = .
Тогда
V_PABCD = S_ABCD· h = a2h = · · = d3 · .
Обозначим tg2 α = t ( 0< t < 1 , т.к. 0<α <45^o ) и найдём значение t , при котором объём пирамиды минимален. Так как при рассматриваемых t верно неравенство t(1-t) , причём равенство достигается при t= , то
V_PABCD = d3 · = d3 · d3,
а равенство достигается при tg α = Тогда
S_ABCD = a2 = = 4d2· 2 = 8d2.

Ответ

8d2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8100