Задача 110751

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Выпуклый анализ и линейное программирование ] [ Неравенства с площадями ] [ Индукция в геометрии ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Условие

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Воспользуемся соображением:

1) если двигать одну из вершин (трех)(много)угольника с постоянной скоростью, то его площадь меняется тоже с постоянной скоростью.
2) линейная комбинация линейных функций тоже линейна.
3) линейная функция достигает максимума (минимума) на границе отрезка.

Пусть P - вершина M, и число сторон M не меньше 4, R, T - соседние с P вершины. Будем двигать P параллельно [RT]. Тогда при движении в любом из двух направлений вершина M выйдет на продолжение стороны P.

Применив эти соображения, сведем задачу к случаю, когда P лежит на продолжении одной из сторон M, т.е. один из углов M равен π.

Но в этом случае дело сводится к многоугольнику с меньшим числом вершин и завершается индукционным спуском.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Международная Математическая Олимпиада
Год
Год	2006
задача
Номер	6