Задача 110764
Условие
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD .Решение
Первое решение. Пусть – касательная к окружности, вписанной в треугольник ABC , параллельная AC ; 1 , 2 – касательные к вписанной окружности четырехугольника, параллельные . Рассмотрим гомотетию с центром B , переводящую окружность, вписанную в треугольник ABC , во вписанную окружность четырехугольника. Она переводит прямые и AC в 1 и 2 соответственно. Поскольку AC лежит ближе к B , чем 2 , то лежит ближе к B , чем 1 , т.е. вписанная в четырехугольник окружность не пересекает прямой . Аналогично она не пересекает параллельной AC прямой, касающейся окружности, вписанной в треугольник ACD , и значит, лежит внутри полосы, образованной этими двумя прямыми. Но ширина этой полосы равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники.Второе решение. Пусть r , r1 , r2 – радиусы вписанных окружностей четырехугольника ABCD и треугольников ABC , ACD соответственно; p , p1 , p2 – их полупериметры. Тогда p>p1 , p>p2 и
Третье решение. Пусть диагонали пересекаются в точке O . Проведем касательную 1 ко вписанной в ABCD окружности σ , параллельную AC и отделяющую B от AC . Такая, очевидно, есть. Тогда из гомотетии, переводящей σ в окружность, вписанную в ABC , имеем, что коэффициент гомотетии r2/r больше, чем отношение расстояний от D до O и до B , то есть больше DO/BD . Из аналогичных соображений r1/r>BO/BD . Складывая, получаем требуемое.
