ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110772
УсловиеОпределите наименьшее действительное число M, при котором неравенство |ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²)| ≤ M(a² + b² + c²)² выполняется для любых действительных чисел a, b, c. Решение Левая часть обращается в ноль при a = b, значит, она делится на a – b. Аналогично она делится на a – c и на b – c. Теперь из симметрии ясно, что ab(a² – b²) + bc(b² – c²) + ca(c² – a²) = α(a – b)(a – c)(b – c)(a + b + c). Сравнивая коэффициенты при a³, находим α = 1. Таким образом, задачу можно переформулировать так:
Итак, неравенство (*) выполняется для При этом можно достичь равенства, если все неравенства в оценках превратить в равенства (то есть, если b – a = c – b = t и 2t² = 9s²). Это произойдёт, например, при Значит, уменьшить M нельзя. Ответ
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|