Задача 110773

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Найдите все такие пары  (x, y)  целых чисел, что  1 + 2^x + 2^2x+1 = y².

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

  Ясно, что  x ≥ 0.  Если  (x, y)  – решение, то  (x, – y)  – решение. Если  x = 0,  то  y = ±2;.
  Поэтому в дальнейшем считаем, что  x > 0,  y > 0.  Перепишем уравнение в виде  2^x(1 + 2^x+1) = (y – 1)(y + 1).  Тогда числа  y ± 1  чётны, причём одно делится на 4, а другое – нет. Поэтому  x ≥ 3,  и один из множителей делится на 2^x–1 и не делится на 2^x.
  Отсюда  y = 2^x–1n + ε,  где n нечётно,  ε = ±1.  При этом одно из чисел  y – 1,  y + 1  равно 2^x–1n, а другое –  2^x–1n + 2ε.  Подставляя, получим
2^x(1 + 2^x+1) = 2^2x–2n² + 2^xnε,  то есть  1 – nε = 2^x–2(n² – 8).
  Если  ε = 1,  то это равенство невозможно.
  При  ε = –1,  n + 1 = 2^x–2(n² – 8) ≥ 2(n² – 8).  Следовательно,  n ≤ 3.  Отсюда  n = 3,  x = 4,  y = 23.

Ответ

(0, ±2),  (4, ± 23).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Международная Математическая Олимпиада
Год
Год	2006
задача
Номер	4